Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）。

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；

（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由。

Answer

(1)证明见解析；

BP=6cm；

当或时，△PEF为直角三角形.

【解析】

试题分析：（1）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明；

（2）首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；

（3）分三种情形，需要分类讨论，分别求解．

试题解析：（1）当t=2时，DH=AH=4，由AD⊥AB，AD⊥EF可知EF∥BC,

∴EH=BD，FH=CD ，

又∵ AB=AC，AD⊥BC

∴ BD=CD

∴ EH=FH

∴ EF与AD互相垂直平分

∴ 四边形AEDF为菱形

（2）依题意得DH=2t，AH=8－2t，BC=10cm，AD=8cm，由EF∥BC知△AEF∽△ABC

∴ 即，解得EF=10-t

∴

即△PEF的面积存在最大值10cm2，此时BP=3×2=6cm。

（3）过E、F分别作EN⊥BC于N，EM⊥BC于M，易知EF=MN=

EN=FM，由AB=AC可知BN=CM=

在Rt△ACD和Rt△FCM中，由，即，

解得FM=EN=2t，又由BP=3t知CP=10-3t，

，

则 ，

分三种情况讨论：

①若∠EPF=90°，则，解得，（舍去）

②若∠EFP=90°，则，解得，（舍去）

③若∠FEP=90°，则，解得，（均舍去）

综上所述，当或时，△PEF为直角三角形.

考点：1、菱形的判定；2、相似三角形；3、二次函数的性质；4、分类讨论的数学思想．