Question

如图，⊙是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求证：OD=OE；

（3）求证：PF是⊙的切线。

Answer

（1）劣弧PC的长为2π；

（2）证明见解析；

（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由弧长公式进行计算即可；

（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．

试题解析：（1）∵AC=12，

∴CO=6，

∴劣弧PC的长为=2π；

（2）∵ OD⊥AB，PE⊥AC

∴ ∠ADO=∠PEO=90°

在△ADO和△PEO中，

∴ △ADO≌△PEO

∴ OD=OE

（3）连接PC，

由AC是直径知BC⊥AB，又OD⊥AB，

∴ PD∥BF

∴ ∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE

由（2）知OD=OE，则∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC

∴ ∠FEC=∠CFE

∴ EC=FC

由OP=OC知∠OPC=∠OCE

∴ ∠PCE =∠PCF

在△PCE和△PFC中，

∴ △PCE≌△PFC

∴ ∠PFC =∠PEC=90°

由∠PDB=∠B=90°可知∠ODF=90°即OP⊥PF

∴ PF是⊙O的切线

考点：1、切线的判定；2、弧长的计算；3、三角形全等的判定与性质．