Question

已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．

（1）求证：∠PCA=∠PBC；

（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，应用三角形内角和定理和圆周角定理可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论．

（2）根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即求得出结论．

试题解析：【解析】
（1）证明：如答图，连接OC，OA，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO．

∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC．

∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，

在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，

∵∠AOC=2∠PBC，

∴2∠ACO+2∠PBC=180°．∴∠ACO+∠PBC=90°．

∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC．

（2）∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB．∴．

∵PA=3，PB=5，∴，解得．

考点：1．等腰三角形的性质；2．切线的性质；3．三角形内角和定理；4．圆周角定理；5．相似三角形的判定与性质．