Question

如图，∠MON=90°，A、B分别是OM、ON上的点，OB=4．点C是线段AB的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD，过点B作ON的垂线．

（1）当点D恰好落在垂线上时，求OA的长；

（2）过点D作DE⊥OM于点E，将（1）问中的△AOB以每秒2个单位的速度沿射线OM方向平移，记平移中的△AOB为△，当点O′与点E重合时停止平移．设平移的时间为t秒，△与△DAE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；

（3）在（2）问的平移过程中，若与线段交于点P，连接，，，是否存在这样的t，使△是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）8;

（2） 当0≤t＜1时，．当１≤t＜４时，．当4≤t≤5时，．

（3） 0≤t≤4，．

【解析】

试题分析：（1）根据l⊥ON，可得∠DBA＋∠ABO=90°．由∠MON=90°，所以∠ABO＋∠BAO=90°，∠BAO=∠DBA．由题意知：∠BAD=90°，可得△ABO∽△BDA,从而求出OA

（2）分情况0≤t＜1； １≤t＜４时； 4≤t≤5时，求出函数关系式．

（3）存在满足条件的t（0≤t≤4），分两种情况讨论①当PA′=PD时，PA′2=PD2，②当PA′=A′D时，PA′2=A′D2，讨论即可得出结论．

试题解析：【解析】
（1）∵l⊥ON，∴∠DBA＋∠ABO=90°．

∵∠MON=90°，

∴∠ABO＋∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠DBA．

由题意知：∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠AOB=90°，

∴△ABO∽△BDA．

∴．

由题意知：AB=2AD，OB=4，

∴， ∴OA=8．

（2）当0≤t＜1时，．

当１≤t＜４时，．

当4≤t≤5时，．

（3）存在满足条件的t（0≤t≤4），理由如下：

由题意知：==2t， O′A′=OA=8，DE=B′O′=BO=4．

经探究，得△∽△AOB，∴，即 ，

∴．△DAE∽△ABO，∴，即，

∴AE=2，

∴BD=OE=OA+AE=10．

∴PO′=4－t，B′D=10－2t，A′E=10－8－2t或2t＋8－10．

在Rt△中，．

在Rt△中，．

在Rt△中，．

①当PA′=PD时，PA′2=PD2，即，

解得．

∵0≤t≤4，∴．

②当PA′=A′D时，PA′2=A′D2，即，

解得．

∵0≤t≤4，∴此种情况不成立．

考点：1．三角形的相似的判定和性质；2．等腰三角形的判定和性质；3根据实际问题求解析式