Question

已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点G在BC上，连接AG，过C作CF⊥AG，垂足为点E，过点B作BF⊥CF于点F，点D是AB的中点，连接DE、DF

（1）若∠CAG=30°，EG=1，求BG的长；

（2）求证：∠AED=∠DFE．

Answer

（1）；（2）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）首先根据勾股定理求出CE的长，进而得到AC的长，因为AC=BC，所以BC可求，利用BH=BC﹣CG计算即可；

（2）连接CD，通过证明分别证明△ACE≌△CBF和△DCE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可证明∠AED=∠DFE．

解答：（1）【解析】
∵∠ACE=∠ECG=30°，EG=1，sin30°=，∴CG=2，∴CE=，

∵sin30°=，∴AC=，∴BC=，∴BG=；

（2）证明：连接CD，

在△ACE和△CBF中，∵∠AEC=∠CFB，∠CAE=∠FCB，AC=BC，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CE=BF，

∵等腰RT△ABC中，点D是AB的中点，∴CD=BD，

∵CD⊥BD，∠DCE+∠DPC=∠FBP+∠FPB=90°，∴∠DCE=∠DBF，

在△DCE和△DBF中，

∵CF=BF，∠DCE=∠DBF，DC=BD，∴△DCE≌△DBF（SAS），∴∠CED=∠BFD，

∵∠AEC=∠CFB=90°，∴∠AED=∠DFE．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．解直角三角形．