Question

如图，二次函数与x轴交于A﹑B两点,与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G．

（1）求直线AC的解析式；

（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；

（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；

（4）过点P作PE⊥AC,垂足为E，当点P运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。

Answer

（1）直线AC的解析式y=x+2；（2）当0时：S==-t+t；当2时：S== t-t；（3）M（0,0）,M（0,-2）,；（4）线段EG的长度不发生改变，理由详见解析

【解析】

试题分析：（1）当x=0时，y=2;当y=0时，x=2

∴A（-2,0）,B（2,0）,C（0,2）

设直线AC的解析式y=kx+b,把（-2,0）、（0,2）代人后得：

解得：

∴直线AC的解析式y=x+2

（2）当0时：S==-t+t

当2时：S== t-t

（3）M（0,0）,M（0,-2）,

（4） 线段EG的长度不发生改变。

证明：当点P在线段AO上时，过点Q作QF⊥AC于点F

PE⊥AC

∴∠EAP=∠APE=∠QCF=∠FQC=45

AP=CQ

∴△APE≌△CQF

∴PE=QF

∠AGP=∠QGF

∴△PEG≌△QFG

∴EG=EF

AE=CF

∴AC=EF

∴EG=AC=

当点P在线段OB上时，同理可证EG=

考点：二次函数综合题．