Question

△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连AD，BE,F为线段AD的中点，连CF

（1）如图，当D点在BC上时，试探索BE与CF的关系，并证明。

（2）如图，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如果成立请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明。

Answer

（1）CF=,CF⊥BE；理由详见解析（2）仍然成立，理由详见解析

【解析】

试题分析：（1）通过证明△BCE≌△ACD，即可证得BE与CF的关系，通过等量代换，可得∠CBE+∠BCF=90°；

（2）延长CF到M，使FM=FC，连接AM，DM，得四边形AMDC是平行四边形，通过证明△MAC≌△ECB，即可证明；

试题解析：（1）CF=,CF⊥BE

证明： △ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点

∴∠C=90，CD=CE,AC=BC

∴Rt△ADC≌Rt△BEC

∴AD=BE,∠ADC=∠BEC

又 F为线段AD的中点

∴CF=DF=

∴CF=,∠ADC=∠FCD

∴∠BEC=∠FCD

∠BEC+∠EBC=90

∴∠FCD+∠EBC=90

∴CF⊥BE

（2）仍然成立，即CF=,CF⊥BE

证明：延长CF至点G,使FG=FC,连接AG、GD．

F为线段AD的中点

∴四边形ACDG是平行四边形

∴AG∥CD,AG=CD

∴∠GAC+∠ACD=180

△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点

∴∠ACB=∠DCE=90，CD=CE,AC=BC

∴AG=CE,∠BCD+∠DAC+∠DAC+∠ACE=180

∴∠BCE+∠ACD=180

∴∠GAC=∠BCE

∴△AGC≌△CEB

∴．BE=CG, ∠ACG=∠CBE

∠ACG+∠BCG=90

∴∠CBE+∠BCG=90

∴CF=,CF⊥BE

考点：1．等腰直角三角形；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的判定与性质；4．旋转的性质．