Question

（12分）如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1，∠BAE=30°．

（1）求证：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB＇E＇（如图2），使点E落在CD边上的点E＇处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）；（3）没有变化，理由见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF；

（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；

（3）易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，继而证得结论．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，∴∠ABF+∠CBF=90°，

∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF．

（2）【解析】
∵正方形面积为3，∴AB=，

在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE，

∴，

又∵BE=1，∴，∴S△BGE=×S△ABE=；

（3）【解析】
没有变化．

理由：∵AB=，∠BAE=30°，∴BE=1，

∵AB′=AB=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′公共，

∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，

∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，

设BF与AE′的交点为H，

则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共，

∴△BAG≌△HAG，

∴S四边形GHE′B′=S△ABE′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE．

∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质．