Question

（10分）如图，点B在的直径AC的延长线上，点D在上，AD=DB，∠B=30°，若的半径为4．

（1）求证：BD是的切线；

（2）求CB的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）4．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得到∠ADB=120°，∠ADO=∠A=30°，那么∠ODB=90°，根据切线的判定方法即可证明BD是⊙O的切线；

（2）解含30°角的Rt△OBD，得出OB=2OD，再根据CB=OB﹣OC=2OD﹣OD=OD即可求解．

试题解析：（1）如图，连接OD，

∵AD=BD，∴∠B=∠A=30°，∴∠ADB=180°﹣∠A﹣∠B=120°，

∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°，∴∠ODB=∠ADB﹣∠ADO=90°，

又∵点D在⊙O上，∴BD是⊙O切线；

（2）在Rt△OBD中，∵∠ODB=90°，∠B=30°，

∴OB=2OD=4，∴CB=OB﹣OC=2OD﹣OD=OD=4．

考点：切线的判定．