Question

（14分）如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）若M为线段OB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N，当点M运动到何处时，四边形ACNB的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形ACNB面积的最大值．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）把点ABC的坐标代入解析式解方程组即可，也可设解析式为交点式y=a（x+1）（x﹣2），然后把点C（0，﹣2）代入，求出a即可；（2）设P（x，0），表示出AP和PC的长度，可得方程解之即可；（3）设N（x, x2﹣x﹣2），因为S四ACNB=S△ACB+ S△BCN，所以用x表示出S四ACNB，，然后求二次函数的最大值即可.

试题解析：【解析】
（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2；

（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=；

（3）设N（x, x2﹣x﹣2） S四ACNB=S△ACB+ S△BCN=3+ S△BCN，S△OBC=2 ,S△OCN=x，S△ONB= -x2+x+2,S△BCN= S△OCN+ S△ONB- S△OBC= -x2+x+2+ x-2，S四ACNB=-（x-1）2+4,所以当x=1时，S四ACNB的最大值为4.

即当M（1,0）时，四边形CBNA面积的最大值是4.

考点：二次函数综合题.