Question

学完“轴对称”这一章后，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q，求证：∠BQM=60°．

（1）请你完成这道思考题：

（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，如：

①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？

②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60？

③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？……

请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：

①________；②_______；③________．并对②，③的判断，选择一个画出图形，并给出证明．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）① 是 ② 是 ③ 否，证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三个角相等，三条边相等，利用SAS得到三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用外角性质及等量代换即可得证；

（2）①是真命题，条件与结论交换后，先利用两对角相等的三角形相似得到三角形BMQ与三角形ABM相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；②是真命题，利用外角的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACM与三角形ABN全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用等式的性质变形即可得证；③不是真命题，利用HL得到直角三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应角相等得到∠AMB=∠BNC，根据直角三角形BNC中两锐角互余，利用等量代换及垂直的定义判断得到∠BQM=90°．

试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

在△ABM和△BCN中，∵BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC，∴△ABM≌△BCN（SAS），

∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；

（2）①是；②是；③否；

若选择①，已知：∠BQM=60°，

求证：BM=CN，

证明：∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BMQ=∠AMB，∴△BMQ∽△AMB，∴∠CBN=∠BAM，

在△ABM和△BCN中，∵∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠BCN，∴△ABM≌△BCN（ASA），

∴BM=CN；

若选择②，证明：如图，

在△ACM和△BAN中，∵CM=AN，∠ACM=∠BAN=120°，AC=AB，∴△ACM≌△BAN（SAS），

∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°；

若选择③，证明：如图，

在Rt△ABM和Rt△BCN中，∵BM=CN，AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL），∴∠AMB=∠BNC，

又∵∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，则∠BQM=90°．

故答案为：①是；②是；③否．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质．