Question

（14分）如图，抛物线交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线过点C，交y轴于D点．

（1）求抛物线的函数表达式；（3分）

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（4分）

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．（7分）

Answer

（1）；（2）；（3）N(－5，12)或(11，140)或(－1，－4)．

【解析】

试题分析：（1）把点E，A、B的坐标代入函数表达式，即可求出a、b、c的值；

（2）根据C点的坐标求出直线CD的解析式，然后结合图形设出K点的坐标（t，0），表达出H点和G点的坐标，列出HG关于t的表达式，根据二次函数的性质求出最大值；

（3）需要讨论解决，①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，当点N在点M的左侧时，MN=3﹣n；当点N在点M的右侧时，MN=n﹣3，然后根据已知条件在求n的坐标就容易了

②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（﹣1，0），过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，结合已知条件再求n的坐标就容易了．

试题解析：（1）设抛物线的函数表达式为，

∵抛物线交y轴于点E（0，﹣3），将该点坐标代入上式，得a=1，

∴所求函数表达式为，即；

（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0），

∴点C坐标（5，0），

∴将点C坐标代入，得m=5，

∴直线CD的函数表达式为，

设K点的坐标为（，0），则H点的坐标为（，），G点的坐标为（，），

∵点K为线段AB上一动点，∴﹣3≤t≤1，∴HG=（）﹣（）=，

∵﹣3＜＜1，∴当时，线段HG的长度有最大值；

（3）∵点F是线段BC的中点，点B（1，0），点C（5，0），∴点F的坐标为（3，0），

∵直线l过点F且与y轴平行，∴直线l的函数表达式为x=3，

∵点M在直线l上，点N在抛物线上，∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，），

∵点A（﹣3，0），点C（5，0），∴AC=8，

分情况讨论：①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．

当点N在点M的左侧时，MN=3﹣n，∴3﹣n=8，解得n=﹣5，∴N点的坐标为（﹣5，12），

当点N在点M的右侧时，MN=n﹣3，∴n﹣3=8，解得n=11，∴N点的坐标为（11，140），

②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（﹣1，0）

过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，将代入，得y=﹣4，

过点N作直线NM交直线l于点M，

在△BPN和△BFM中，∵∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，∴△BPN≌△BFM，

∴NB=MB，∴四边形ANCM为平行四边形，∴坐标（﹣1，﹣4）的点N符合条件，

∴当N的坐标为（﹣5，12），（11，140），（﹣1，﹣4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

考点：二次函数综合题．