Question

（10分）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．

求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）根据条件AE⊥AB，AF⊥AC，得出∠EAC=∠BAF，再利用SAS证明△ABF≌△AEC，可证EC=BF；（2）根据（1），△ABF≌△AEC，所以∠AEC=∠ABF，设AB与EC交于点D．然后证明∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，即EC⊥BF．

试题解析：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，

即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，

∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC=BF；

（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，

∴∠AEC=∠ABF，设AB与EC交于点D．

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），

∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，

∴EC⊥BF．

考点：全等三角形的判定与性质．