Question

如图，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．

（1）用含y的代数式表示AE；（3分）

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（5分）

（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．（4分）

Answer

（1）AE=8-y；

（2）y=8-2x（0＜x＜4）；

（3）S=-2（x-2）2+8，S有最大值8；

【解析】

试题分析：（1）由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y；

（2）根据相似三角形的判定方法得到△ADE∽△ABC再根据相似三角形的对应边对应成比例从而求得；

（3）根据二次函数求解．

试题解析：（1）由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y；

（2）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

∴，即，

∴y=8-2x（0＜x＜4）；

（3）S=xy=x（8-2x）=-2（x-2）2+8，

∴当x=2时，S=-2×（2-2）2+8=8，即S有最大值8．

考点：1、相似三角形的判定与性质；2、二次函数的最值