Question

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm/s的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/s的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）。

（1）求证△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长；

（3）t为何值时，四边形AFEC的面积为19。

Answer

（1）证明见解析；（2）cm；(3) s.

【解析】

试题分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．

（3）四边形AFEC的面积=△ABC的面积-△BEF的面积．

试题解析：（1）∵AB∥DC，

∴∠ACD=∠BAC．

∵AC⊥BC，

∴∠D=∠ACB=90°．

∴△ACD∽△BAC；

（2）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵△ACD∽△BAC，

∴．

∴DC=（cm）；

（3）作CM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N．

∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，

∴CM=．

∵CM∥EN，

∴，

∴．

S四边形AFEC=S△ABC-S△BEF

=×6×8-×（10-2t）×

=24-4t+

即 y=-4t+24．（0＜t＜5）

∵当y=19时，-4t+24=19

解得：t=

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.直角梯形．