Question

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（-1，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，写出点P的坐标（不要求写解题过程）．

Answer

（1）；

（2）P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）点P的坐标是：（，2）或（，2）．

【解析】

试题分析：（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；

（3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标．

试题解析：（1）由A（4，0），可知OA=4，

∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，∴C（0，4），B（﹣1，0）．

设抛物线的解析式是，

则，解得：，

则抛物线的解析式是：；

（2）存在．

第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，

设P（，），则，

解得：（舍去），．∴，

即P（2，6）．

第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．∴P2N∥x轴，

由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，

设P2（，），则，解得：，（舍去），

∴，则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．

综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．

根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，则AC=，

根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．

又∵DF∥OC，∴DF=OC=2，∴点P的纵坐标是2．则，解得：，

∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）．

考点：1．二次函数综合题；2．等腰三角形的判定与性质．