Question

（本题满分9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．

（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）若AD=，AE=，求EC的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）取BD中点O，连接OE，求出∠CBE=∠EBO，∠OEB=∠EBO，推出∠OEB=∠CBE，推出OE∥BC，求出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可；

（2）设⊙O半径为R，在Rt△AOE中，由勾股定理得出，求出，求出∠A=30°，∠CBE=∠OBE=30°，推出EC=BE =，代入求出即可．

解答：（1）证明：取BD中点O，连接OE，

∵∠DEB=90°，∴BD为直径，∴BD的中点O为外接圆的圆心．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBO，

∵OE=OB，∴∠OEB=∠EBO，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，

∵BC⊥AC，∴OE⊥AC，

∵OE为半径，∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）【解析】
设⊙O半径为R，

则在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2=AE2+OE2，

即，解得：，∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°，

∴∠CBE=∠OBE=30°，∴EC=BE=．

考点：1．切线的判定；2．勾股定理．