Question

如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D、E分别为ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点,且PC=PE.

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）直接写出CD的长为____________.

Answer

（1）AC＝８；AD=5.；（2）直线PC与⊙O相切，（3）7.

【解析】

试题分析：（1）连结BD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，∵AB=10，BC=6，

∴AC==8；

∵DC平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴AD=AB=5；

（2）PC与圆⊙O相切．理由如下：

连结OC，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°，

而∠A=90°﹣∠ABC，∠ABC=∠OCB，

∴∠PCE=90°﹣∠OCB+45°=90°﹣（∠OCE+45°）+45°，

∴∠OCE+∠PCE=90°，

即∠PCO=90°，

∴OC⊥PC，

∴PC为⊙O的切线；

（3）点I为Rt△ABC的内心，连结BI，作IF⊥BC于F，如图，

∵点I为Rt△ABC的内心，

∴BI平分∠ABC，

∵∠DIB=∠ICB+∠IBC=45°+∠IBC，∠DBI=∠DBA+∠EBI=45°+∠EBI，

∴∠DIB=∠DBI，

∴BD=BI，

∴BI=DA=5，

∵IF==2，

∴CI=2，

∴CD=CI+DI=7．

故答案为7．

考点: 切线的判定