Question

(12分)抛物线中，b，c是非零常数，无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+1上，这条直线和x轴，y轴分别交于点E，A，且OA=OE.

（1）求k的值；

（2）求证：这条抛物线经过点A；

（3）经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点，经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B，经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C，和直线y=kx+1交于点D，探索CD和BC的数量关系.

Answer

【解析】

试题分析：（1）根据直线解析式可得点A的坐标为（0，1），则可得点E的坐标为（-1，0），代入直线解析式，可求出k的值．

（2）将顶点M的坐标代入直线解析式，再由无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+1上，可得出b、c的值，继而可判断这条抛物线经过点A．

（3）根据抛物线与直线只有一个交点，求出m的值，继而得出B、C、D的坐标，求出BC、CD的长度，即可得出CD和BC的数量关系．

试题解析：(1)k＝1

(2)将顶点M坐标代入y＝x＋1化简得：

∵无论a为和何值，等式都成立，所以4c－4＝0，

∴c＝1，b＝2

（也可以取两个特殊值得到点M的坐标，代入直线表达式求出b，c的值）

∴抛物线经过点A

(3)由题意：方程的△＝0，

∴，m＝2

∴点B，C，D的坐标分别是B(，)，C(， )，D(， )

用a表示出BC，CD的长度，得到BC＝CD＝||

考点：一次函数的解析式，二次函数的图像与性质，综合应用题