Question

正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F.

（1）如图①，求证：AE=AF;

（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG;

（3）在（2）的条件下，如果= ，那么点G是否一定是边CD的中点?请说明你的理由.

Answer

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质得出∠ABC=∠ADF=90°，进而得出△ABE≌△ADF，即可得出AE=AF；

（2）连接AG，利用全等三角形的判定得出△AEG≌△AFG（SAS），进而得出EG=BE+DG；

（3）首先设AB=5k，GF=6k，再假设BE=x，则CE=6k-x，EG=5k，得出CF=CD+DF=6k+x，CG=CF-GF=6k+x-5k=k+x，进而利用勾股定理得出x的值，进而比较得出答案．

试题解析：（1）正方形ABCD中，AB=AD，

∠ABC=∠ADC=∠BAD= 90°

∴∠ABC=∠ADF=90°,

∵∠EAF=90°∴∠BAE=∠DAF

∴≌,

∴AE=AF

（2）连接AG，

∵点G是斜边MN的中点，

∴∠EAG=∠FAG=45°

AG=AG,则≌

∴EG=GF

∴EG=DG+DF

∵BE=DF

∴EG=BE+DG

（3）设，，

设，则，,

∴中，

∴ 即

解得

∴或

两种情况都成立，

∴点G不一定是边CD的中点.

考点：正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理