Question

（7分）在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。

（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；

（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论。

Answer

（2）∠CP′D+∠COB=180°

【解析】

试题分析：（1）根据垂径定理知，=2，由圆周角定理知，的度数等于∠BOC的度数，的度数等于∠CPD的2倍，可得：∠CPD=∠COB；

（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°-∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．

试题解析：（1）证明：连接OD，

∵AB是直径，AB⊥CD，

∴．

∴∠COB=∠DOB=∠COD．

又∵∠CPD=∠COD，

∴∠CPD=∠COB．

（2）【解析】
∠CP′D+∠COB=180°．

理由如下：连接OD，

∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，

又∵∠CPD=∠COD，

∴∠COB=∠CPD，

∴∠CP′D+∠COB=180°．

考点：垂径定理,圆周角的性质，圆内接四边形的对角互补