Question

（本题满分12分）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）C（4，3）；（3）P（）或（）或（）或（）．

【解析】

试题分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b的值，即可得解；

（2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；

（3）设AC、EF的交点为D，根据点C的坐标写出点D的坐标，然后分①O是顶角，②C是顶角，③P是顶角三种情况讨论．

试题解析：（1）把点A（1，0）和B（3，0）代入得，

，解得，所以，抛物线的解析式为；

（2）抛物线的对称轴为直线x=2，

∵四边形OECF是平行四边形∴点C的横坐标是4，

∵点C在抛物线上，∴，

∴点C的坐标为（4，3）；

（3）∵点C的坐标为（4，3），∴OC的长为5，

①点O是顶角顶点时，OP=OC=5，

∵，OE=2∴，

所以，点P的坐标为（2，）或（2，-）；

②点C是顶角顶点时，CP=OC=5，同理求出PF=，所以，PE=，

所以，点P的坐标为（2，）或（2， ）；

③点P是顶角顶点时，点P在OC上，不存在.

综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（2，）或（2，-）或（2，）或（2， ），使△OCP是等腰三角形．

考点：二次函数综合题．