Question

（10分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．证明:DE=BD+CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;不成立,请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状，并给出证明．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）与前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．

试题解析：证明：（1）∵BD⊥直线m,CE⊥直线m

∴∠BDA＝∠CEA=90°

∵∠BAC＝90°

∴∠BAD+∠CAE=90°

∵∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD 1分

又AB=AC

∴△ADB≌△CEA 2分

∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD= BD+CE 3分

（2）∵∠BDA =∠BAC=，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—

∴∠DBA=∠CAE 4分

∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC

∴△ADB≌△CEA 5分

∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE 6分

（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，

BD=AE，∠DBA =∠CAE

∵△ABF和△ACF均为等边三角形

∴∠ABF=∠CAF=60°]

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF

∴∠DBF=∠FAE 8分

∵BF=AF

∴△DBF≌△EAF 9分

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°

∴△DEF为等边三角形． 10分

考点：1．全等三角形的判定与性质； 2．等边三角形的判定．