Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A,点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．

        

（1）求证：DE=EF；

（2）连接CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．

Answer

（1）DE=EF （2）∠B=∠A+∠DGC．

【解析】

试题分析：（1）因为点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，故DE=BC，EF=DF-DE=BC-CB=CB，故DE=EF。

（2）因为DB∥CF，所以，∠ADG=∠G，又因为∠ACB=90°，D为边AB的中点，所以，CD=DB=AD，所以，∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，因为DG⊥DC，所以∠DCA+∠1=90°，因为∠DCB+∠DCA=90°，所以∠1=∠DCB=∠B，因为∠A+∠ADG=∠1，所以∠B=∠A+∠DGC．

试题解析：

证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，

∴四边形DBCF为平行四边形， 1分

∴DF=BC，

∵D为边AB的中点，DE∥BC，

∴DE=BC， 3分

∴EF=DF-DE=BC-CB=CB，

∴DE=EF； 5分

（2）∵DB∥CF，

∴∠ADG=∠G，

∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，

∴CD=DB=AD， 7分

∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，

∵DG⊥DC，

∴∠DCA+∠1=90°，

∵∠DCB+∠DCA=90°，

∴∠1=∠DCB=∠B， 9分

∵∠A+∠ADG=∠1，

∴∠A+∠G=∠B． 10分

考点：1．中位线性质定理；2．平行线的性质定理；3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半