Question

（本题12分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，

（1）若n=1，则=         ，=          ；

（2）若n=2，求证：8AP=3PE

（3）当n=_____时，AE⊥DF（直接填出结果）

Answer

（1）； （2）证明见试题解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）可通过构建相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例来求解．

（2）同（1）解法．

（3）根据已知及相似三角形的性质进行求解．

试题解析：（1）延长AE交DC的延长线于H，

∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DH，∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，∴△BEA∽△CEH，

∴，

设EC=m，则AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，

同理：△AFP∽△DPH，

∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，

设AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH=，∴PE=，

∴AP：PE=3：5，

∴，；

（2）证明：如图，延长AE交DC的延长线于H，

∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DH，∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，∴△BEA∽△CEH，

∴，

设EC=2a，BE=4a，则AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，

同理：△AFP∽△HDP，，

设AP=2k，PH=9k，∴AH=11k，∴EH=，∴PE=，∴，∴8AP=3PE；

（3）当AE⊥DF时，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，

∵△AFP∽△AFD，∴FP：AP=AF：AD=2：3，∴AF=AD=AB，BF=AB，

∴BF=AF，∴．

考点：1．正方形的性质；2．相似三角形的判定与性质．