Question

（本题12分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．

（1）（4分）求证：△FOE≌△DOC；

（2）（4分）求sin∠OEF的值；

（3）（4分）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；

（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；

（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值．

解答：（1）证明：∵EF是△OAB的中位线，∴EF∥AB，EF=AB，

而CD∥AB，CD=AB，∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，∴△FOE≌△DOC；

（2）【解析】
∵EF∥AB，

∴∠OEF=∠CAB，

∵在Rt△ABC中，AC=，

∴sin∠OEF=sin∠CAB==；

（3）【解析】
∵AE=OE=OC，EF∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴，即EG=CD，

同理FH=CD，

∴．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．三角形中位线定理．