Question

（本题满分12分）在平面直角坐标系中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M ．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与轴、轴的另一交点分别为点D、A（如图），连接AM．点P是上的动点．

（1）∠AOB的度数为        ．

（2）Q是射线OP上的点，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交轴于点E．

①当QE与⊙M相切时，求点E的坐标；

②在①的条件下，在点P运动的整个过程中，求△ODQ面积的最大值及点Q经过的路径长．

Answer

（1）45°；（2）①E点坐标为（，0）；②△ODQ面积的最大值为8，Q经过的路径长为4．

【解析】

试题分析：（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，继而求得∠AOM=45°；

（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，由于QE与⊙M相切，所以B与C重合，故△OBE为等腰直角三角形，从而得到OE=OB=，得到点E的坐标；

②由OD=，Q的纵坐标为t，即可得S=，当动点P与A点重合时，Q点与y轴上R点重合，此时Q点的纵坐标最大，可求得OQ的长，继而求得△ODQ的最大面积；由已知可得：Q在线段BR上运动，显然BR=OB=4．

试题解析：（1）过点M作MH⊥OD于点H，

∵点M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°；

（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，

∴OM==2，OD=2OH=，

∴OB=4，

∵QE与⊙M相切，∴B与C重合，∴△OBE为等腰直角三角形，∴OE=OB=，

∴E点坐标为（，0）

②∵OD=，Q的纵坐标为t，∴S=．

如图2，当动点P与A点重合时，Q点与y轴上R点重合，此时Q点的纵坐标最大，

∵∠AOM=45°，OB=4，∠OBR=90°，∴BR=OB=4，∴OR=，∴，

∴．

∵Q只能在线段BR上运动．∴Q经过的路径长为BR=4．

考点：圆的综合题．