Question

（本题12分）如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC，CD=CE，AC>CD，∠ACB=∠DCE且点A、D、E在同一直线上，连接BE．

（1）若∠ACB=60°, 则∠AEB的度数为           ；

线段AD、BE之间的数量关系是           ．

（2）若∠ACB=∠DCE=90°, CM为△DCE中DE边上的高．

①求∠AEB的度数．

②若，，试求CM的长．（请写全必要的证明和计算过程）

Answer

（1）60°，AD=BE；

（2）①∠AEB =90°，

②在CM=

【解析】

试题分析：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠CDB=∠CDB，

∴∠ACD=∠BCE

又∵AC=BC，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠ADC=∠BEC，AD=BE

若∠ACB=60°，则△ABC和△CDE均为等边三角形，∠ADC=120°，从而∠BEC =120°，∠AEB =60°

故答案为：60°，AD=BE；

（2）①∵∠ACB=∠DCE，∠CDB=∠CDB，

∴∠ACD=∠BCE

又∵AC=BC，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠ADC=∠BEC，AD=BE

若∠ACB=90°，则△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ADC=135°，从而∠BEC =135°，∠AEB =135°-45°=90°，

②在等腰直角△ABC中，，由勾股定理知：AB=2，

在等腰直角△AEB中，因为BE=1, AB=2，由勾股定理知：AE=，

又因为AD=BE=1，所以DE=-1，

因为△CDE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，

所以CM= DE=

考点：1.等腰三角形的性质2.勾股定理3.三角形的全等的判定及性质