Question

（14分） 已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．

（1）点O到弦AB的距离为           .

（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A＇；

①若∠α=30°，试判断点A＇与⊙O的位置关系；

②若BA＇与⊙O相切于B点，求BP的长；

③若线段BA＇与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围.

Answer

（1）1；（2）①点A＇在⊙O上；②；③0°<α<30°或60°≤α<120°．

【解析】

试题分析：（1）过O作OD⊥AB于D，由等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得到OD的长；

（2）①当∠α=30°时，可以得到PB就是直径，因为A在圆上，所以A关于直径的对称点也在圆上；

②如图，得到∠AB A/=120°，从而有∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，得到BP=AB，由垂径定理可得AB=，从而得到BP的长；

③当A＇在圆内或圆外时，线段BA＇与优弧APB只有一个公共点，从而得出0°<α<30°或60°≤α<120°．

试题解析：（1）过O作OD⊥AB于D，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OD=OA=1；

（2）①连接A＇O∵∠AOB=120°∴∠APB=∠AOB=60°，∵∠PBA=30°，∴∠PAB=90°∴PB是⊙O的直径，因为A在圆上，所以A关于直径的对称点A＇也在⊙O上；

②由翻折可知∠A＇B P =∠ABP，∵BA＇与⊙O相切，∴∠OB A/=90°∴∠AB A/=120°，∴∠A＇B P =∠ABP=60°，∵∠APB=60°∴△PAB为正三角形，∴BP=AB，

由（1）得AB=2AD=OD=，∴BP=；

③α的取值范围为0°<α<30°或60°≤α<120°．

考点：圆的综合题．