Question

（12分）如图，在⊙O中，AD∥BC，AC⊥BD垂足为E．

（1）求证：BE=CE；

（2）若AD=4，M为AD的中点，延长ME交BC于F，

①判断EF与BC的位置关系；

②求OF的长度．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）①EF垂直平分BC；②2．

【解析】

试题分析：（1）由平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，得到∠CBE=∠ECB，从而BE=CE；

（2）①先证明△AED是等腰三角形，由三线合一，得到EM⊥AD，再由AD∥BC，可得到EF⊥BC，再证明BE=EC，即可得到结论；

②证明△BOF≌△OAM，即可得到OF=AM=2

试题解析：（1）∵，∴∠CBE=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ECB，∴∠CBE=∠ECB，∴BE=CE；

（2）①EF垂直平分BC；理由：∵AD∥BC∴∠CBE=∠ADE∵∠CBE=∠CAD，∴∠ADE=∠CAD∴AE=DE，∵M为AD的中点∴EM⊥AD，∴∠AME=90°，∵AD∥BC∴∠EFC=∠AMD=90°∴EF⊥BC∵BE=CE∴BF=FC ∴EF垂直平分BC；

②连接BO，AO．∵OB=OC∴O在BC的垂直平分线上，∴O在EF上；∵AC⊥BD∴∠BEC=90°，∵BE=CE∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠BOA=90°，∵MF⊥BC，∴∠MFC=90°，∵AD∥BC，∴∠AME=90°，可证得：△BOF≌△OAM，得OF=AM=2．

考点：圆的综合题．