Question

（本题满分12分）问题解决

（1）如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．

类比归纳

（2）在图（1）中，若则的值等于         ；若则的值等于         ；若（为整数），则的值等于         ．（用含的式子表示）

联系拓广

（3）如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设（），，则的值等于         ．

（用含的式子表示）

Answer

（1）；（2），，；（3）．

【解析】

试题分析：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．由轴对称的性质知MN垂直平分BE．有BM=EM，BN=EN．由于四边形ABCD是正方形，则有∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．由得，CE=DE=1；设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，由勾股定理知NE2=CN2+CE2．即x2=（2﹣x）2+12可解得x的值，从而得以BN的值，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，由勾股定理知AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，有AM2+AB2=DM2+DE2．

设AM=y，则DM=2﹣y，y2+22=（2﹣y）2+12可求得y的值，得到AM的值从而得到；

（2）先算当（为整数）时， 的值，然后代入即可得到n=3，n=4时，的值；

（3）先用含m，n代数式表示出AM，BN，然后求出的值即可．

试题解析：（1）如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．

由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称，∴MN垂直平分BE，

∴BM=EM，BN=EN，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．

∵，∴CE=DE=1．

设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，．

∴，解得，即BN=．

在Rt△ABM和在Rt△DEM中，，，

∴．

设AM=y，则DM=2﹣y，

∴，解得：，即AM=，∴．

（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，，

不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，，，；

作MH⊥BC于H，则MH=BC，

又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，

∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=，则：．

故当，则的值等于；若，则的值等于；

（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，，不妨令CD=n，则CE=1；

又，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=，

BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故，，

HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，

故．

考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．正方形的性质．