Question

（本题满分10分）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，点E在AC的垂直平分线上.

（1）请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由.

（2）如果∠B=60°，证明：CD=3BD.

Answer

（1）AB+BD=CD；理由见试题解析；（2）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由AD⊥BC，BD=DE，点E在AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=EC，AB=AE，继而证得AB+BD=AE+DE=DC．

（2）易得△ABE是等边三角形，则可得△ABC是直角三角形，且∠BAD=∠C=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得结论．

试题解析：（1）AB+BD=DC．理由如下：

∵AD⊥BC，BD=DE，∴AB=AE，BD=DE，

∵点E在AC的垂直平分线上，∴AE=CE，∴AB+BD=AE+DE=DC．

（2）∵AB=AE，∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=∠B=∠BAE=60°，

∵AE=EC，∴∠C=∠CAE=∠AEB=30°，∴∠BAC=90°，∠BAD=30°，

在Rt△ABC中，BC=2AB，在Rt△AABD中，AB=2BD，

∴BC=4BD，∴DC=3BD．

考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的判定与性质．