Question

（本题10分）△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2．现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线AC、直线BC相交于点E、F．我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α （0°＜α＜90°）．

（1）在旋转过程中，当点E在线段AC上，点F在线段BC上时（如图2），

①试判别△DEF的形状，并说明理由；

②判断四边形ECFD的面积是否发生变化，并说明理由．

（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由；

Answer

（1）①等腰直角三角形；② S四边形ECFD=（2） CG的值为或1.

【解析】

试题分析：（1）连接DC，证明ADE≌△CDF，得出DE=DF，证出是等腰直角三角形；再由全等得出旋转过程中，四边形的面积不发生变化，由此的结果.

（2）利用画好的图形，分析出边和角的关系从而能得出结果.

试题解析：（1）①等腰直角三角形；② S四边形ECFD=

（2）如图1，当G在线段CB延长线上时，∵∠FGE＜45°，∠FEG=45°，∠EFG＞90°

∴△EFG不可能是等腰三角形；

如图2，当G与C重合时，E与A重合，F与C重合，此时FE=FG，CG=

如图3，当G在线段BC上时，∵∠EGF＞45°，∠EFG＞45°，∠FEG=45°，∴只能EF=EG，∵EC⊥FG，∴FC=CG，∵∠EDF=90°，∴∠FDG=90°，∴DC=FG=CG，∴CG=1；

综上，CG的值为或1.

考点：等腰直角三角形，旋转