Question

（8分）已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．

（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积 

关系是：                    ．

（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面

积关系是：______________________．并证明你的结论．

证明：

（3）运用：已知△ABC，AB＝5cm，BC＝3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和的最大值是           cm²．

Answer

（1）相等（2）相等（3）22．5

【解析】

试题分析：（1）由于当E点旋转到DA的延长线上时，根据图形和三角形的面积公式容易得到△ABE与△ADG的面积关系；

（2）相等．如图延长BA到点P，过点E作EP⊥BP于点P；延长AD到点Q，过点G作GQ⊥AQ于点Q，由此得到∠P=∠Q=90°，而四边形AGFE，ABCD均为正方形，根据正方形的性质可以得到AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，这样得到∠1=∠3，然后就可以证明△APE≌△AQG，接着得到EP=GQ，然后利用三角形的面积公式即可证明题目的问题；

（3）根据（2）的几个可以得到三个阴影部分的面积都和三角形ABC的面积相等，而AB=5cm，BC=3cm，若图中阴影部分的面积和的最大值，则三角形ABC的面积最大，则其是直角三角形即可求解．

试题解析：（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：相等 ．

（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：相等 ．

证明：

过点E作EM⊥BA交BA的延长线于M，过点G作GN⊥AD交AD的延长线于N

∴△EMA≌△GNA

∴EM=GD

∵S△ABE = AB．EM，S△ADG = AD．GN

AB=AD,EM=GD

∴

（3）运用：已知△ABC，AB＝5cm，BC＝3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和的最大值是 22．5 cm2．

考点：旋转变换，三角形的面积，三角形全等