Question

（本题满分12分）问题提出：平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？

初步思考：设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．

（1）当C、D在线段AB的同侧时，

如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB＝∠ADB，理由是            ；

如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB    ∠ADB；

如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB    ∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）；

由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：          ．

类比学习：（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

如图④，此时有              ，      

如图⑤，此时有              ，

如图⑥，此时有              ．

由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：

                                                                  ．   

拓展延伸：（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．

求作：CN⊥AB．

作法：①连接CA，CB；

②在上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；

③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；

④连接F、E并延长，交直径AB于M；

⑤连接D、M并延长，交⊙O于N．连接CN．则CN⊥AB．

请按上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

Answer

同弧所对的圆周角相等 ＜ ＞ 当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上 当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上

【解析】

试题分析： （1）∠ACB=∠ADB的依据是：同弧所对的圆周角相等．利用圆周角定理及三角形的外角性质，即可得到圆外角、圆周角、圆内角三者之间的关系，进而得到四点共圆的判定方法．

（2）利用圆周角的度数与所对弧的度数的关系即可得到∠ACB+∠ADB=180°；再结合三角形的外角性质，即可得到点D在圆内、圆外时∠ACB+∠ADB与180°的大小关系，进而得到四点共圆的判定方法．

（3）由（2）中的结论可证到：点E、D、B、M在同一个圆上，从而有∠EMD=∠EBD．由∠CND=∠CBD可证到CN∥EM，进而可证到CN⊥AB．

试题解析：

（1）①如图①，根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ACB=∠ADB．

②如图②，延长BD交⊙O于点E，

∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB

∴∠ACB＜∠ADB．

③如图③，连接AF，

∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB

∴∠ACB＞∠ADB．

故答案为：同弧所对的圆周角相等、＜、＞、

当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上．

（2）①如图④，

∵与的度数之和等于360°，

且∠ADB的度数等于度数的一半，

∠ACB的度数等于度数的一半，

∴∠ACB+∠ADB=180°．

②如图⑤，延长AD交⊙O于点E，连接BE，

∵∠ACB+∠AEB=180°，∠AEB＜∠ADB，

∴∠ACB+∠ADB＞180°．

③如图⑥，连接BF

∵∠ACB+∠AFB=180°，∠AFB＞∠ADB，

∴∠ACB+∠ADB＜180°．

故答案为：∠ACB+∠ADB=180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°．

当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上．

（3）图⑦即为所求作．

∵AB是⊙0的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AF，AD⊥BF，

∴根据三角形的三条高交于同一点可得：FM⊥AB．

∴∠EMB=90°．

∴∠EMB+∠EDB=180°．

∴由（2）中的结论可得：点E、D、B、M在同一个圆上，如图⑦所示．

∴∠EMD=∠EBD．

∵∠CND=∠CBD，

∴∠CND=∠EMD．

∴CN∥EM．

∴∠CHB=∠EMB．

∵∠EMB=90°，

∴∠CHB=90°，即CN⊥AB．

考点：圆周角定理，三角形的外角性质，