Question

（本题满分12分）在△ABC中， AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．

（1）△ABC的面积为：          ．

（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的

△DEF，并利用构图法求出它的面积为_____________．

（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m²、25m²、36m²，则六边形花坛ABCDEF的面积是          m²．

Answer

（1）3.5；（2）画图；面积为7；（3）EP=AG=FQ （4）110

【解析】

试题分析：（1）利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；

（2）根据网格结构和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；

（3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角边”证明△ABG和△EAP全等，同理可证△ACG和△FAQ全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=AG=FQ；

（4）过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解无理方程求出h，从而求出△PQR的面积，再根据六边形被分成的四个三角形的面积相等，总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解．

试题解析：

（1）△ABC的面积=3×3-×2×1-×3×1-×2×3=，

=9-1-1.5-3，

=9-5.5，

=3.5；

（2）△DEF如图2所示；

面积=2×4-×1×2-×2×2-×1×4

=8-1-2-2

=8-5

=3

（3）∵△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=AE，∠BAE=90°，

∴∠PAE+∠BAG=180°-90°=90°

又∵∠AEP+∠PAE=90°

∴∠BAG=∠AEP

在△ABG和△EAP中，

∴

同理可证，

∴EP=AG=FQ

（4）如图4，过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，

在Rt△PRH中，PH=

在Rt△RQH中，QH=

∴PQ=

解得h=3

∴S△PQR=×6×3=9

∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m2．

故答案为：（1）3.5；（2）3；（4）110．

考点：勾股定理，三角形全等判定和性质，几何图形的面积