Question

（本题12分）如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度．点P为直线y=x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．

（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；

（2）求点P的坐标；

（3）如图乙，若直线y=x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值

（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围。

Answer

（1）四边形OCPD是正方形

（2）P的坐标为（2，6）或（6，2）

（3）2或-2

（4）8-2≤m≤8+2

【解析】

试题分析：（1）根据切线长的性质定理可以得出PC=PD，PC⊥OC, PC⊥OD,再由PC⊥PD可以的证.

（2）设出直线y=x+8的点P（m，-m+8），根据切线长的性质和正方形的性质，有勾股定理的出m的值.

（3）分两种情形，直线y=-x+b将圆周分成两段弧长之比为1：3，可知被割得的弦所对的圆心角为90°，又直线y=-x+b与坐标轴的夹角为45°，如图乙可知，分两种情况，可求得结果.

（4）当圆运动到PO等于半径且在直线的左面时，则圆和直线有一个交点；当圆运动到直线的右面时与直线相切的点也有一个，从而能知道他们之间的都可以.

试题解析：（1）四边形OCPD是正方形．证明过程如下：

如图甲，连接OC、OD．

∵PC、PD是⊙O的两条切线，

∴∠PCO=∠PDO=90°．

又∵PC⊥PD，

∴四边形OCPD是矩形．

又∵OC=OD，

∴四边形OCPD是正方形；

（2）如图甲，过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OP．

∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，

∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，

∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，

∴OD=PD=2，OP=2

∵P在直线y=-x+8上，设P（m，-m+8），则OF=m，PF=-m+8，

∵∠PFO=90°，OF2+PF2=PO2，

∴m2+（-m+8）2=（2）2，

解得m=2或6，

∴P的坐标为（2，6）或（6，2）；

（3）分两种情形，直线y=-x+b将圆周分成两段弧长之比为1：3，可知被割得的弦所对的圆心角为90°，又直线y=-x+b与坐标轴的夹角为45°，如图乙可知，分两种情况，所以，b的值为2或-2．

故答案是：2或-2．

（4）8-2≤m≤8+2

考点：正方形，圆的切线的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，等腰直角三角形