Question

八年级数学课上，曹老师出示了如下框中的题目．（本题8分）

小聪与同桌小明讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况·探索结论

  当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝” ）．

（2）特例启发·解答题目

【解析】
题目中， AE与DB的大小关系是：AE_____DB（填“＞”，“＜”或“＝” ）．

理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论·设计新题

  在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．

若△ABC的边长为2，AE＝4，求CD的长（请你直接写出结果）．

Answer

（1）AE＝DB；（2）AE=DB证明△CEF≌△EDB；（3）CD的长2或6

【解析】

试题分析：（1）当E为中点时，过E作EF∥BC交AC于点F，则可证明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；（2）类似（1）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；（3）分点E在AB上和在BA的延长线上，类似（2）证得全等，再利用平行得到．

试题解析：1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，∴∠EDB=∠FEC，在△BDE和△FEC中，∠EBD=∠EFC，∠EDB=∠FEC，ED=EC，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD=EF， ∴AE=BD，故答案为：=；（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，∴∠EDB=∠FEC，在△BDE和△FEC中，EBD=∠EFC，∠EDB=∠FEC，ED=EC，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD=EF，∴AE=BD，故答案为：=；（3）CD的长2或6．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质．