Question

（本题12分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：

①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）40；（2）①不存在；②或或.

【解析】

试题分析：（1）求面积要先求梯形的高，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出底边后即可求出梯形的面积．

（2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值，再求出梯形面积即可得出答案；

②分三种情况进行讨论：一、当P在AB上时，即0≤t≤4，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值．

二、当P在AD上时，即4＜t＜5，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10﹣2t，因此DP，DQ恒相等．

三、当P在CD上时，即5＜t≤6．综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．

试题解析：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，

∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．

∵CD=10，∴HC=，∴BC=BH+CH=8，

∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=2t，∴AP=8﹣2t，DQ=10﹣2t，

∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣2t+2+10﹣2t=2t+8+2t．∴．

∴当秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．

QC=3，PB=3，

∵QE∥DH，∴，∴，

∴QE=2.4，EC=1.8，BE=8﹣1.8=6.2，

四边形PBCQ面积=S梯形QEBP+S△QEC=（PB+QE）×BE+QE×EC，

=，

所以PQ不平分梯形ABCD的面积；

②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QH⊥AB，垂足为H．

∵AP=8﹣2t，AD=2，∴PD=．

∵CE=，QE=，∴QH=BE=，BH=QE=．∴PH=．

∴PQ=，DQ=．

Ⅰ：DQ=DP， =，解得秒．

Ⅱ：DQ=PQ，=，化简得：，

解得：，（不合题意舍去），

∴，

∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10﹣2t．

∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t﹣10．

∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

综上所述，或4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．

考点：1．直角梯形；2．等腰直角三角形；3．动点型．