Question

已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点与点O重合并将三角板绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角板的直角边与边AC、BC的交点．

（1）如图①，当点M与点A重合时，求BN的长．

（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），

①猜想图②中、、、之间满足的数量关系式，并说明理由．

②若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你直接写出此时BN的长．

Answer

【解析】

试题分析：（1）连接AN，则AN=BN,利用勾股定理在Rt△CAN中可求出AN的值；

（2）延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，可证△EOA≌△NOB得AE=BN，由垂直平分线性质可得MN=EM，由勾股定理可得，，最后等量代换可得结论．

试题解析：（1）如图，连接AN,则有：AN=BN

在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，

∴BC=

设BN=x,则AN=x，CN=8-x

在Rt△CAN中,AN2=AC2+CN2

∴x2=62+（8-x）2

解得：x= ,

即BC=.

（2）如图，延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，

∵OA=OB，OE=ON，∠EOA=∠NOB

∴△EOA≌△NOB

∴AE=BN，∠EAO=∠B

∵∠B+∠BAC=90°

∴∠EAO+∠BAC=90°

∴

又

又知：EM=MN

∴

②

考点：勾股定理.