Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）若AB=21，AD=9，AC=17，求CF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）8.

【解析】

试题分析：（1）首先利用角平分线的性质得出CF=CE，进而利用HL定理得出Rt△CFD≌Rt△CEB；

（2）首先得出Rt△CFA≌Rt△CEA，进而得出AF=AE，设DF=x，则9+x=21-x，求出x即可得出AE的长，然后利用勾股定理即可求出CF的长.．

试题解析：（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，

在Rt△CFD和Rt△CEB中，

，

∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL）；

（2）【解析】
∵在Rt△CFA和Rt△CEA中，

，

∴Rt△CFA≌Rt△CEA（HL），

∴AF=AE，设DF=x，

则9+x=21-x，

解得：x=6，

故AE=21-6=15．

在Rt△ACF中，CF=.

考点：全等三角形的判定与性质．