Question

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，

（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；

（2）定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动,求当 P、Q、C三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．

Answer

（1）G的坐标为(8，)；（2）P点坐标为，（） ，．

【解析】

试题分析：（1）连接EG，由题意得：AOE≌AFE，

EFG=OBC=900，

又∵E是OB的中点，

EG=EG，EF=EB=4．EFG≌EBG．

FEG=BEG，AOB=AEG=900，

AOE∽AEG，AE2=AOAG，

即36+16=6×AG，AG=，易得CG=，BG=．

∴G的坐标为(8，)

设运动的时间为t秒，

当点C为好圆的圆心时，则CQ=CP，

即：2t=10—4t，得到t=，此时CP=，AP=，

P点坐标为．

当点P为好圆的圆心时，则PC=PQ，

过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10—4t，CP=2t．

由三角形相似可知：EQ=CQ=，

PE=， 则，

化简得：，

∴ (舍去) ．

此时，AP=，P点坐标为．

当点Q为好圆的圆心时，则QC=PQ，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10—4t，CP=2t，由三角形相似可知： QF=；PF=．

则 ，

整理得．

∴ (舍去) ．

此时，AP=,P点坐标为．

综上所述，P点坐标为，（） ，．

考点: 矩形的综合运用