Question

（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．

（1）求证：∠ACM=∠ABC；

（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）如图，连接OC

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵CM是⊙O的切线，

∴OC⊥CM，

∴∠ACM+∠ACO=90°，

∵CO=AO，

∴∠BAC=∠AOC，

∴∠ACM=∠ABC；

（2）∵BC=CD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，

∴AD⊥CE，∴△AEC是直角三角形，∴△AEC的外接圆的直径是AC．

又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，

∴△ABC∽△CDE，∴=，

⊙O的半径为3，∴AB=6，∴=，

∴BC2=12，∴BC=2，∴AC==2，

∴△AEC的外接圆的半径为．

考点: 1．圆的性质；2．相似三角形的性质