Question

（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？

（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．

Answer

（1）点D（t+1，）；（2）当t=2时，S最大=1；

当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形；

点D运动路线的长为．

【解析】

试题分析：（1）设出P点坐标，再求出CP的中点坐标，根据相似的性质即可求出D点坐标；

（2）根据D点的坐标及三角形的面积公式直接求解即可；

（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；

（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可．

试题解析：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，

∴OP=t，而OC=2，

∴P（t，0），

设CP的中点为F，

则F点的坐标为（，1），

∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，）；

（2）∵D点坐标为（t+1，），OA=4，

∴S△DPA=AP×=（4-t）×=（4t-t2）=-（t-2）2+1，

∴当t=2时，S最大=1；

（3）能构成直角三角形．

①当∠PDA=90°时，PC∥AD，

由勾股定理得，，

即（）2+1+（4-t-1）2+（）2=（4-t）2，

解得，t=2或t=-6（舍去）．

∴t=2秒．

②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，

∴CP:PD=CO:PA，

∴2:1=2:PA，

PA=1，

即t+1=4，t=3秒．

综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．

（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=，

∴点D运动路线的长为．

考点：二次函数的最值；待定系数法求一次函数解析式；直角三角形的性质；矩形的性质．