Question

（本题满分10分）如图，Rt△ABC在平面直角坐标系中，BC在X轴上，B（﹣1，0）、A（0，2），AC⊥AB．

（1）求线段OC的长．

（2）点P从B点出发以每秒4个单位的速度沿x轴正半轴运动，点Q从A点出发沿线段AC以个单位每秒速度向点C运 动，当一点停止运动，另一点也随之停止，设△CPQ的面 积为S，两点同时运动，运动的时间为t秒，求S与t之间关系式，并写出自变量取值范围．

（3）Q点沿射线AC按原速度运动，⊙G过A、B、Q三点，是否有这样的t值使点P在⊙G上、如果有求t值，如果没有说明理由．

Answer

（1）4；（2）（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用△AOB∽△COA即可求得OC=4．

（2）分当P在BC上，Q在线段AC上时、当P在BC延长线上，Q在线段AC上时、当C、P、Q都在同一直线上利用△CQD∽△CAO求得t值即可．

（3）若点P在圆G上，因为AC⊥AB，所以BQ是直径，所以∠BPQ=Rt∠，即PQ⊥BC，则，得到有关t的式子求解即可．

试题解析：（1）∵AC⊥AB，∴∠ABO+∠ACO=90°，

∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠ACO，∠ABO=∠OAC，∴△AOB∽△COA，∴，

∵B（﹣1，0）、A（0，2），∴OA=2，OB=1，∴，∴OC=4；

（2）①当P在BC上，Q在线段AC上时，（）过点Q作QD⊥BC于D，

如图所示，则CQ=，CP=5﹣4t，

由△CQD∽△CAO可得QD=2﹣t，所以S=CP•QD=，

即S=；

②当P在BC延长线上，Q在线段AC上时（），过点Q作QD⊥BC于D，

如图所示，则CQ=，CP=4t﹣5，

由△CQD∽△CAO可得QD=2﹣t，所以S=CP•QD=，

即S=，

③当t=或t=2时C、P、Q都在同一直线上，S=0．

∴；

（3）若点P在圆G上，因为AC⊥AB，所以BQ是直径，所以∠BPQ=90°，即PQ⊥BC，

则，得：，

解得，（不合题意，舍去），所以当时，点P在圆G上．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．坐标与图形性质；3．圆周角定理．