Question

（本题满分9分）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．

（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；

（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）

（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732）

Answer

（1）20；（2）43.9；（3）20cm≤x≤34.6cm．

【解析】

试题分析：（1）证明△CED是等边三角形，即可求解；

（2）分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下AD的长，求差即可；

（3）分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下DG的长度，即可求得x的范围．

试题解析：（1）连接CD（图1）．

∵CE=DE，∠CED=60°，∴△CED是等边三角形，∴CD=DE=20cm；

（2）根据题意得：AB=BC=CD，

当∠CED=60°时，AD=3CD=60cm，

当∠CED=120°时，过点E作EH⊥CD于H（图2），则∠CEH=60°，CH=HD．

在直角△CHE中，sin∠CEH=，∴CH=20sin60°=20×=（cm），∴CD=cm，

∴AD=≈103.9（cm），∴103.9﹣60=43.9（cm），即点A向左移动了43.9cm；

（3）当∠CED=120°时，∠DEG=60°，

∵DE=EG，∴△DEG是等边三角形，∴DG=DE=20cm，

当∠CED=60°时（图3），则有∠DEG=120°，过点E作EI⊥DG于点I．

∵DE=EG，∴∠DEI=∠GEI=60°，DI=IG，

在直角△DIE中，sin∠DEI=，∴DI=DE•sin∠DEI=20×sin60°=20×=cm．

∴DG=2DI=≈34.6cm．

则x的范围是：20cm≤x≤34.6cm．

考点：1．解直角三角形的应用；2．菱形的性质．