Question

（本题满分10分）阅读理【解析】

如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：

（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；

（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试确定E点位置．

Answer

(1) 点E是四边形ABCD的AB边上的相似点;(2)详见解析；（3）E在BC中点

【解析】

试题分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．

（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．

（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出BC和BE的数量关系，从而可求出解．

试题解析：：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE+∠DEA=125°．

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC+∠DEA=125°．

∴∠ADE=∠BEC．（2分）

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC．

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）作图如下：

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．

由折叠可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=1/3 ∠BCD=30°，BE=1/2 CE＝1/2 AB，即点E为AB中点。

考点: 相似形综合题．