Question

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M的坐标为（0，t），△EFG的面积为S．

（1）求S与t的函数关系式；

（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；

（3）当点G关于直线EF的对称点G′ 恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接写出t的值．

Answer

（1）S=；（2）当△EFG为直角三角形时，t=或t=或t=或t=；（3）t的值为或或或

【解析】

试题分析：（1）①当0＜t＜3时，如图1，过E作EH⊥CA于H，

∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），

∴OA=4，OC=3，AC=5，

∵MN∥CA，

∴△OEF∽△OCA，

∴OE：OC=EF：CA，即t：3=EF：5，

∴EF=t，

∵EH⊥CA，

∴∠ECH=∠OCA，

∴sin∠ECH=sin∠OCA，

∴EG：EC=OA：CA，

即EH：（3﹣t）=4：5，

∴EH=（3﹣t），

∴S=×EF×HE=×t×（3﹣t）=﹣t2+2t；

②当3＜t＜6时，如图2，过C作CH⊥MN于H，则MC=t﹣3，

∵CH⊥MN，∴∠CMH=∠OCA，∴sin∠CMH=sin∠OCA，

∴CH：MC=OA：CA，即CH：（t﹣3）=4：5，

∴CH=（t﹣3），

易求直线AC解析式为：y=﹣x，

∵MN∥CA，

∴直线MN的解析式为：y=﹣x+t，

令y=3，可得3=﹣x+t，解得x=（t﹣3）=t﹣4，

∴E（t﹣4，3），

在y=﹣x+t中，令x=4可得：y=t﹣3，∴F（4，t﹣3），

∴EF==（6﹣t），

S=×EF×GH=×（t﹣3）=﹣t2+6t﹣12；

综上可知S=；

（2）①当0＜t＜3时，E（0，t），F（t，0），G（2，），

∴EF2=t2，EG2=22+（t﹣）2，GF2=（t﹣2）2+（）2，

若EF2+EG2=GF2，则有t2+22+（t﹣）2=（t﹣2）2+（）2，解得t=0（舍去），t=﹣（舍去），

若EF2+FG2=EG2，则有t2+（t﹣2）2+（）2=22+（t﹣）2，解得t=0（舍去），t=，

若EG2+GF2=EF2，则有22+（t﹣）2+（t﹣2）2+（）2=t2，解得t=，

②当3＜t＜6时，E（t﹣4，3），F（4，t﹣3），G（2，），

∴EF2=（t﹣8）2+（t﹣6）2，EG2=（t﹣6）2+（）2，GF2=22+（t﹣）2，

若EF2+EG2=GF2，则有（t﹣8）2+（t﹣6）2+（t﹣6）2+（）2=22+（t﹣）2，整理得32t2﹣363t+1026=0，△=441，解得t=，t=6（舍去），

若EF2+FG2=EG2，则有（t﹣8）2+（t﹣6）2+22+（t﹣）2=（t﹣6）2+（）2，整理得6t2﹣79t+258=0，△=49，解得t=6（舍去），t=＞6（舍去），

若EG2+GF2=EF2，则有（t﹣6）2+（）2+22+（t﹣）2=（t﹣8）2+（t﹣6）2，解得t=，

综上可知当△EFG为直角三角形时，t=或t=或t=或t=；

（3）直线MN为y=﹣x+t，G（2，），

GG′所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为y=x﹣，在y=x﹣中，

令x=0，可得：y=﹣，∴G′（0，﹣），GG′中点（1，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=，

令y=0，可得：x=，∴G′（，0），GG′中点（，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=，

令x=4，可得：y=，∴G′（4，），GG′中点（3，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=，

令y=3，可得：x=，∴G′（，3），GG′中点（，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=，

综上可知满足条件的t的值为或或或

考点:四边形综合题