Question

（10分）在□ABOC中，AO⊥BO，且AO＝BO．以AO、BO所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知B（－6，0），直线过点C且与x轴交于点D．

（1）求点D的坐标；

（2）点E为y轴正半轴上一点，当∠BED＝45°时，求直线EC的解析式；

（3）在（2）的条件下，设直线EC与x轴交于点F，ED与AC交于点G．点P从点O出发沿折线OF－FE运动，在OF上的速度是每秒2个单位，在FE上的速度是每秒个单位．在运动过程中直线PA交BE于H，设运动时间为t．当以E、H、A为顶点的三角形与△EGC相似时，求t的值．

Answer

（1）D(4，0)；（2）；（3）或．

【解析】

试题分析：（1）由平行四边形的性质求出点C的坐标，把C的坐标代入，可求出直线CD的解析式，从而求出D的坐标；

（2）求出直线ED和OC的交点M，可得到M为等腰直角三角形OAC的中点，连结AM，算出AB，AM的长，通过△BAE∽△EAM，求出AE的长，进而求得点E的坐标，再求出直线EC的解析式；

（3）分两种情况：①P在OF上运动，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA与△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可，当∠HAE=45°时，有∠OAP=∠HAE=45°，得到△AOP为等腰直角三角形，从而求出t的值；

②P在EF上运动，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA与△EGC相似，只要∠AHE=∠GCE=45°即可，当∠AHE =45°时，由∠HEI=45°，得到∠HIE=90°，故AP⊥ED，求出直线AP的解析式，再求出直线AP与EF得交点P的坐标，用两点间的距离公式算出EP的长，从而得出PF的长，分别算出P在OF上运动的时间与P在FE上运动的时间，两者相加，得到t的值．

试题解析：（1）∵B（－6，0），∴OB=6，∵AO＝BO，∴AO=6，∵□ABOC，∴AC=BO=6，∴C（6，6），

∵直线过点C，∴，∴，∴直线CD的解析式为：，在中，令，解得：，∴D(4，0)；

（2）如图：设直线ED交OC于M，连结AM，BE．

设直线ED为，∵E(0，12)，D（4，0），∴，解得：，∴直线ED的解析式为：，显然直线OC的解析式为：，由：，解得：，∴M（3，3），∴M为OC的中点，∵AO=AC，∴AM⊥OC，∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=45°，∴∠BAE=135°，

∵ABOC是平行四边形，∴AC∥BO，OC∥AB，∴∠OAC=90°，∠COA=∠BAO=45°，∴△AMO为等腰直角三角形，∴∠OAM=45°，∴∠EAM=135°，∴∠BAE=∠EAM，∵OA=6，∴AM=，∵OA=OB=6，∴AB=，∵∠BEA+∠AEM=∠BEA+∠EBA=45°，∴∠ABE=∠AEM，∵∠BAE=∠EAM，∴△BAE∽△EAM，

∴BA：EA=AE：AM，∴AE•AE=，∴AE=6，∴OE=12，∴E(0，12)，设直线EC的解析式为，则：，∴，∴直线EC的解析式为：；

（3）分两种情况：①当P在OF上运动时，如图，

∵直线EC的解析式为：，令，得：，∴OF=OE=12，∴∠OFE=45°，∵AC∥OB，∴∠ACE=∠OFE=45°，∴∠CEG+∠AEG=45°，∵∠BAD=45°，∴∠HEA=∠GEC，要使△EHA与△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可．当∠HAE=45°时，∠OAP=∠HAE=45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OP=OA=6，；

②当P在EF上运动时，如图，由①可知，△EHA与△EGC中，∠HEA=∠GEC，∠GCE=45°，∴只需要∠EHA=45°即可．当∠EHA=45°时，∵∠HEI=45°，∴∠HIE=90°，∵AP⊥ED，∴直线AP的解析式为：，把A(0，6)代入，得：，∴直线AP的解析式为：，联立方程：，解得：，∴P（4，5，7.5），∴EP=，∵EF=OE= ，∴FP=，∴点P从O到P所用的时间=．

考点：一次函数综合题．