Question

（10分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心， AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．

（1）求证：D是的中点；

（2）求证：∠DAO＝∠B＋∠BAD；

（3）若 ，且AC＝4，求CF的长.

Answer

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）2．

【解析】

试题分析：（1）由AC是⊙O的直径，即可求得OD∥BC，又由AE⊥OD，即可证得D是的中点；

（2）首先延长OD交AB于G，则OG∥BC，可得OA=OD，根据等腰三角形的性质，即可求得∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）由AO=OC，S△OCD=S△ACD，即可得，又由△ACD∽△FCE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CF的长．

试题解析：（1）∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，

∵OD∥BC，∴AE⊥OD，∴D是的中点；

（2）如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC，∴∠AGD=∠B，

∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，

又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）∵AO=OC，∴S△OCD=S△ACD，

∵，∴，

∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，∴△ACD∽△FCE，

∴，即：，∴CF=2．

考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．相似三角形的判定与性质．